有时候我们需要测试一个单向链表是否存在环。最土鳖的方法就是改变链表的数据结构，给每个节点添加一个bool变量，在未测试时全部初始化为false，然后遍历链表，每访问一个节点，先测试其bool成员来确定这个节点是否被访问过，如果为true，则表示访问过，则有环，否则设置bool成员为true，表明访问过，然后继续测试。

如果不改变数据结构的话，我们有以下的解决方案：

1. 测试是否有环：

我们可以构建两个迭代器来遍历链表，一个每一次移动一个节点，另外一个每次移动两个节点。如果这两个一快一慢的土鳖迭代器相遇了，也就是说他们在某个时刻都到了同一个节点，那么我们可以肯定有环存在。直观的理解就是让两个土鳖一快一慢在400米环形跑道上各选一个位置，然后同时顺时针做死了跑，那么这两个土鳖总能相遇,因为一个比另外一个快。

如果需要严谨的证明，我们可以这样理解。假设在某个迭代时刻，两个土鳖迭代器（以后简称土鳖）都进入了环，一个距环起始点为i，一个距环起始点为j。这个假设必然有成立的时候，因为跑着跑着他们总会进入环，而且一旦进入那就出不来了，只能做死了跑。然后假设又跑了一会儿，这两个土鳖相遇了，一个土鳖跑了x步，一个跑了2x步。如果这个环总共长n,也就是说慢土鳖需要跑n步才能跑完一圈。然后我们可以得出i+x和j+2x对于n同余，也就是说i+x和j+2x除以n的余数是相同的，写成同余等式就是(i+x)=j+2x(mod n) ，根据同余加减法性质，我们可以让上面的式子减去x=x(mod m)，得到i=(j+x)(mod m)。因为x未知，所以上面的式子是个同余方程，i、j都是普通整数，很明显这个方程是有解的。例如2=(1+x)(mod 5)的一个简单解就是1。所以这两个土鳖跑着跑着总会相遇。也就是说我们上面检测环的算法可行，不会死循环。

2. 获取环起始点：

基于问题1的分析，快土鳖和慢土鳖总会在某个节点相遇，假设这个点为cross。同事假设环起始点为start。一个显然的事实是，当两个土鳖相遇时，慢土鳖跑过的路径是快土鳖的一半。这样的话，在相遇前，当慢土鳖跑了一般的时候，快土鳖已经经过了相遇点（落脚或者跨越）。这样的话当慢土鳖跑完后半段的时候，快土鳖从相遇点开始又跑了同样的路程到达了相遇点，这个路程的长度等于慢土鳖总共跑的长度。现在牛逼的地方来了，如果慢土鳖从头开始跑的时候，有另外一个慢土鳖从相遇点cross开始跑，那么他们两个也会在相遇点相遇，我们称这两个土鳖分别为A和B。土鳖B走的路程和快土鳖后半段时间走过的路程是完全一样的，唯一的区别就是他慢一点而已。现在第二个牛逼的地方来了，因为慢土鳖A和B的速度是一样的，那么他们在相遇点之前的节奏也是一样的，也就是说他们在相遇点值钱已经相遇了，而且一同样的速度相伴走到了相遇点cross。他们从什么时候相遇开始这段快乐的旅程呢，当然是环起始点start。我们可以让慢土鳖A和B从相遇点倒退，这样就能理解为什么他们在start点相遇了。OK，现在我们有了解决方案，让慢土鳖A从链表头start开始跑，让另外一个慢土鳖从相遇点cross开始跑，他们第一次的相遇点就是环起始点。

大功告成，标点符号（废话）有点多，大家不要介意。

下面是C++代码：

1 #include <stdio.h>

2 #include <stdlib.h>

3

4 template<typename T>

5  struct Node

6 {

7     T value;

8     Node* next;

9 };

10

11 //Test if a linked list has circle

12 template<typename T>

13 bool hasLoop(Node<T>* linkedList, Node<T>** loopCross = NULL)

14 {

15     //empty linked list, no circle

16     if(linkedList == NULL || loopCross == NULL) return false;

17

18     Node<T>* slowWalker = linkedList;

19     Node<T>* quickWalker = linkedList;

20     while(quickWalker != NULL && quickWalker->next != NULL)

21     {

22         // move the walker

23         slowWalker = slowWalker->next;            //one each step

24         quickWalker = quickWalker->next->next;    //two each step

25         if(slowWalker == quickWalker)

26         {

27             //has circle

28             *loopCross = slowWalker;

29             return true;

30         }

31     }

32

33     return false;

34 }

35

36 //Get the loop start node

37 template<typename T>

38 Node<T>* getLoopStart(Node<T>* linkedList, Node<T>* loopCross)

39 {

40     Node<T>* startFromHead = linkedList;

41     Node<T>* startFromCross = loopCross;

42     // Move one pointer from head and move another from the cross node.

43     // They will meet each other at the loop start node.

44     while(startFromHead != startFromCross)

45     {

46         startFromHead = startFromHead->next;

47         startFromCross = startFromCross->next;

48     }

49     return startFromHead;

50 }

51

52 int main()

53 {

54     Node<int>* linkedList = new Node<int>();

55     linkedList->value = 0;

56     linkedList->next = NULL;

57

58     Node<int>* pNode = linkedList;

59     Node<int>* crossNode = NULL;

60

61     for(int i = 1; i < 100; i++)

62     {

63         Node<int>* tem = new Node<int>();

64         tem->value = i;

65         tem->next = NULL;

66

67         pNode->next = tem;

68         pNode = tem;

69         // set the cross node;

70         if(i == 66)

71             crossNode = tem;

72     }

73

74     printf("test normal linked list:\n");

75     if(hasLoop(linkedList))

76         printf("has circle.\n");

77     else

78         printf("no circle.\n");

79

80     printf("test circle linked list:\n");

81     pNode->next = crossNode; // Create a circle

82

83     Node<int>* loopCross = NULL;

84     if(hasLoop(linkedList, &loopCross))

85     {

86         printf("has circle.\n");

87         Node<int>* loopStart = getLoopStart(linkedList, loopCross);

88         if(loopStart != NULL)

89             printf("the value of the circle start node is %d\n", loopStart->value);

90     }

91     else

92         printf("no circle.");

93 }