图3。法国数学家庞加莱（1854-1912）

那个时代的物理学家热衷于观测并研究天体，他们喜欢基于牛顿的引力定律来计算多天体的运动轨迹，并将此类问题归为N体问题。对于简单的二体问题，牛顿时代已经可以精确求解，但到了三体以及多体问题，却是困难重重。庞加莱受美国数学家希尔的启发，首先将三体问题简化为所谓的“限制性三体问题”。即在一个特殊三体系统中，当其中一个天体质量很小（相对于另外两个天体来说可以忽略不计）时，忽略其引力作用。剩下的两大天体将按照开普勒定律，绕着它们的质量中心做椭圆运动。而小天体则将在两大天体的联合重力场中运动。然而，即便如此，庞加莱发现小天体的运动轨迹依然非常复杂，哪怕给定了初始条件，当时间趋向于无穷时，小天体最终前景莫测。这种轨道长时间演化的不确定性，也就是我们现在熟知的混沌现象[6，7]。

即使是这样一个简化的三体系统，也不存在解析解，更不用提由太阳和多个行星构成的N体系统了。换而言之，对于两体以上的多体问题，我们很难或者说根本找不到一个完美的公式可以永远准确地预测它们的信息，对于它们轨道的长期稳定性问题更是无从谈起。

庞加莱的这一研究无疑是一项超越时代的工作，他发现，行星系统中存在哪怕一点微小的扰动都有可能是压垮太阳系的最后一根稻草，这也是混沌思想的雏型。虽然现在“蝴蝶效应”人尽皆知，但在当时这却是与主流思想背道而驰的观点。要知道十九世纪末期，大家对自然界的基本理解多倾向于拉普拉斯的决定论。人们更愿意乐观地相信，根据现在的状态，人类有能力预测未来的一切。然而，庞加莱的理论恰恰预示着完美的、可预知性的终结。他发现拉普拉斯等人在计算太阳系稳定性时所采用的基本近似方法，并不适用于长时间的轨道预估，太阳系中各行星的命运都必须用概率表述。

计算机中的太阳系

太阳系的稳定性问题自牛顿提出，历时3个世纪，虽然曾有无数天文学家、数学家前赴后继，也未能寻求到最终答案。幸运的是，自20世纪80年代开始，随着数值模拟突飞猛进地发展，天文学家已经能够利用超级计算机对太阳系各成员行星进行高精度地追踪模拟。其中，成果之一就是直接证明了太阳系命运的不可预测性[1，2，3，8]，与一百年前庞加莱的想法不谋而合。

数值模拟的困境

对陨石的化学元素分析表明，太阳系大约形成于46亿年前[9]，其中主星太阳目前正处于主序星的壮年期，燃料充足，状态稳定。然而，根据恒星的基本演化规律，太阳接下来将由于内部氢燃料耗尽成为一颗红巨星，伴随温度降低，体积膨胀，水星、金星将被完全吞噬，整个太阳系濒临死亡。距离这一阶段，差不多还有80亿年的时间[4]。而在此之前，太阳系是稳定的么？

其实，解答太阳系稳定性问题的最直接办法就是采用计算机模拟，追踪行星几十亿年后的轨道演化。所幸，我们已知太阳系所有行星的质量和轨道参数，而近邻星和银河系的潮汐作用，甚至包括彗星、小行星、卫星等引力作用都可以合并简化计算或设置为无穷小量。

利用数值计算的方法模拟太阳系的稳定性主要面临两个挑战。第一，如何在数值计算的过程中，使行星轨道在几百亿个周期时间内能够保持足够的计算精度。这个问题随着20世纪90年代辛积分算法（symplectic integration algorithms）的兴起而得以解决。第二，在追踪行星轨道的演化过程中，如何尽可能地缩短计算时长。当然，随着过去五十年间计算机硬件计算速度的指数提升（摩尔定律），这一问题也得以改善。然而，由于近几年计算速度的提升主要得益于并行计算，即将一个计算问题分配到几百甚至几千个线程同时进行运算，这一优化却并不适用了追踪行星演化。因为行星系统的演化是个连续性问题，如果你需要追踪一百年后的轨道演化，你就必须首先获取一百年前的轨迹信息。因此，如何推算太阳系中各行星在数十亿年间的演化仍旧是个难题。

混沌的太阳系

为了克服这一困境，巴黎天文台的拉斯克（Lasker）在计算机代数的基础上，发展出一种在时间上向前推算行星运动的近似方法，包含了行星间微弱的引力扰动，使得太阳系的模拟演化时标长达数十亿年[1，2，3，11]。

结果表明，分布于太阳系外部区域的四大巨行星——木星、土星、天王星和海王星，在整个太阳系存续期间（80亿年内）都是相对稳定的（甚至可以认为它们在1千万亿年的时间跨度内都是稳定地）[1]。相反地，处于太阳系内部区域的四个类地行星——水星、金星、地球和火星，则活跃的多，其轨道离心率在长时间演化过程中，变动较大且无序（图4）。

图4。利用数值积分的方法，模拟太阳系其前100亿年至其后150亿年间，8大行星轨道在单位时间间隔（1000万年）内最大离心率的演化情况[2]。上图为水星、金星和地球的演化，下图为火星、木星、土星、天王星、海王星的演化。可见，四个巨行星都比较循规蹈矩，在单位时间间隔内的离心率在250亿年间基本没有明显变化。相反地，几个类地行星却活泼得多，其轨道离心率随时间变动很大且无序，可归为混沌区域[3]。

实际上，对于四个类地行星而言，能够进行有效轨道预估的时标只有几百万年，远小于太阳系的年龄。所以，即使采用几乎完全相同的初始模型（行星质量、位置等仅仅存在观测上无法探知的微小差异），几千万年后，行星轨道间也将产生不可忽视的差异。更为关键的是，差异的大小将随时间的演化由线性增长过渡为指数增长。例如，早期演化中，不同模型产生的位置差异为1毫米到2毫米再到3毫米等等，但是到了后期，位置差的增长模式为1毫米到2毫米再到4毫米、8毫米、16毫米等等[4]。这一指数增长行为即标志着数学上的混沌现象，暗示着行星轨道的不可预估性。现如今我们通过计算模拟得到的行星轨道信息，可能与几亿年后的实际情况偏差很大，因为行星的演化情况实在太过于依赖初始条件。很难想象，仅仅是将铅笔从书桌的一端移到另一端这一行为，都将改变地球对木星的引力扰动，历经几十亿年后，这种改变甚至足够导致木星位置的偏移。

换而言之，计算机模拟下的太阳系，将不可避免地显现出不同的命运。尤其是水星，最有可能失控，成为摧毁整个太阳系的害群之马（图5）。

图5。四个类地行星——水星（白色）、金星（绿色）、地球（蓝色）和火星（红色）的可能演化情形。以一千年为时间单位。图（a）为尚未发生任何近距离交汇和碰撞情况下，各个类地行星的轨迹。由于行星间的引力扰动，每个行星的轨道将会稍微偏离现有状态。图（b）表明，若水星的轨道偏折足够大，将在50亿年内与金星甚至太阳发生碰撞。图（c）情况下，火星的离心率被较大激发，足够与地球发生近距离交汇或碰撞。图（d）情况下，整个类地行星系统极不稳定，金星甚至