文章来源：赛先生微信公众号

太阳系真的是稳定的吗？这一问题曾困扰了包括牛顿在内众多杰出的数学家、物理学家；对这一问题的探索激发了非线性力学和混沌理论。如今快速计算机和新算法的出现给出了概率性回答：未来50亿年间太阳系很可能是稳定的，但也有1%的概率显示太阳系将会土崩瓦解。

太阳系的稳定性问题

人类日出而作，日落而息，亘古未变，大概很少有人会关心这样一个问题——太阳系是稳定存在的么？地球是否会毁于某个突然撞过来的天体，或是逐渐改变了现有轨迹，过于靠近太阳被蒸发殆尽，或是背离太阳成为冰球？

我们大多数人都想当然地认为，地球甚至整个太阳系都是高度稳定的。毕竟，太阳系已然诞生了45亿年的时间，如果存在不稳定的因素，浩劫也许早该发生，现在开始担心太阳系稳定性问题岂不是杞人忧天？

实际上，太阳系的长期演化历史和其稳定性是天文学中最基本却悬而未决的重要问题之一[1，2，3，4]。

历史回顾

牛顿的上帝之手：稳定性的质疑

图1。英国物理学家牛顿（1643-1727）

太阳系的稳定性问题可以追溯到牛顿时期，牛顿（图1）第一个意识到行星运行的物理本质，他利用万有引力理论成功的解释了行星绕太阳运行的基本规律：在只考虑太阳引力的情况下，每一颗行星都将以太阳为焦点进行椭圆运动。这也是经典牛顿力学里一个非常完美的解析解。不得不说这里有一个看似非常高明的近似处理，因为太阳的质量占据整个太阳系总质量的99.8%，所以牛顿假设了行星之间的相互作用可以忽略不计，即每个行星轨道之间相互独立。这种假设有其合理之处，因为即使是太阳系质量最大的行星——木星，其对地球的引力作用也不过约为太阳引力作用的十万分之一。在这种近似处理下，我们可以轻而易举地根据每颗行星的现有观测属性，依照牛顿定律，预测其未来任何时刻的运动轨迹。

然而，早在牛顿时代，足够高精度的行星观测数据表明，太阳系中各行星的实际观测轨迹与近似解下的完美椭圆轨迹之间存在一定的偏差，其中比较引人瞩目的就是土星和木星的“偏航”问题——16、17世纪的天文学家发现木星正螺旋式地缓慢逼近太阳，同样地，土星也正以类似的方式缓慢地远离太阳。如果按照这一趋势演化几万年的话，整个太阳系将万劫不复。

显然，牛顿的近似处理并不能解释土、木二星的“迷航”。这一结果让牛顿陷入了迷茫，也让他对于太阳系的稳定性产生质疑。他意识到，太阳系的8大行星（牛顿当时只知道其中6个）之间存在周期性的、微小的引力扰动，这些微小的引力扰动会不会日积月累，最终成为导致行星轨迹异常的罪魁祸首？

牛顿后来对于太阳系稳定性问题的评论可圈可点，他认为所有行星诞生之初都是按照标准的椭圆轨迹共轴运转，然而随着行星之间（行星与彗星之间）相互作用的累积，平衡被打破，越来越多的行星出现轨道异常，最终整个行星系统土崩瓦解直至产生新的暂稳系统[4]。

牛顿如此旗帜鲜明地相信太阳系是不稳定的，他认为现如今这样间距合适、近圆轨道运转的行星布局，大概只能侥幸归功于上帝之手的鬼斧神工。

拉普拉斯的决定论：稳定性的拥趸

如何理解土星和木星的“偏航”问题一度成为18世纪一个重要的科学议题，一方面，它将决定牛顿定律是否适用于行星系统，另一方面它也将太阳系的稳定性问题提上了议程。

牛顿对“偏航”问题的失败解读无疑激发了众多数学家攻克难题的动力。1个世纪后，欧拉（Euler）试图将土、木二星的相互作用纳入考虑，研究两行星的平均运动情况，其结果虽然不尽如人意，但却为后世应用广泛的扰动方法奠定了基础；1766年，拉格朗日（Lagrange）第一次采用了准周期性的表述方式来描述行星在轨道平面的运动，并引入了轨道倾角（inclination）、节点经度（longitude of nodal）等参数，这些变量我们沿用至今。值得一提的是，尽管当时几个类地行星（水星、金星、火星）的质量尚有一定的不确定性，拉格朗日仍然计算出了节点的久期振动频率，且与现在的计算结果非常接近。同时期的法国数学家拉普拉斯（Laplace，图2）对拉格朗日的工作印象深刻，他开始应用拉格朗日的方法研究行星轨道的离心率（eccentricity）和远日点（aphelion）。他发现土星绕太阳公转两圈的时间与木星公转五圈的时间是相当的，这一巧合将会导致土、木两星在各自轨道附近产生一个周期为数千年的振荡，这一振荡也为土、木二星的偏航提供了合理的解释。

图2。法国数学家拉普拉斯（1749-1827）

毫无疑问，拉普拉斯的结果令人钦佩，也与观测最为符合，就他所属的时代而言，他无疑取得了突出的成就。虽然欧拉和拉格朗日也触及了解决问题的关键——土星、木星的相互作用，但却都与正解失之交臂。

拉普拉斯在牛顿万有引力的框架下合理地解释了土星、木星的轨道奇异性，并据此，开始反演太阳系。他尝试基于土星、木星的演化理论来推断太阳系诞生之初土、木星二星的位置，结果和两千年前（228 BC）巴比伦人和（240 BC）托勒密（Ptolemy）的观测数据惊人的吻合[1，2]。这无疑激发了拉普拉斯决定论[5]的提出——“我们可以把宇宙现有的状态视为其过去的果以及未来的因。如果一个智者知道某一时刻所有自然运动的力和所有自然构成的物体的位置，并能对这些数据进行分析，那么从宇宙里最大的天体到最小的粒子，它们的运动轨迹都应该包含在一条简单的公式中。对于这个智者来说，没有问题是含糊的，未来可以像过去一般历历在目”。简单的说，拉普拉斯认为，一旦我们知晓宇宙中所有物体的位置和速度，那么就能准确的推断它的过去，预测它的未来。

在拉普拉斯的推断中，太阳系作为一个整体，是一个稳定的周期性运动系统，各个行星轨道的半长轴并没有经历长期的变动，它们的轨道离心率和倾角也只是经历比较小幅度的变动，而这些变动并不足以激发轨道交汇，产生行星碰撞。但是，在拉格朗日和拉普拉斯的工作中，行星的轨道已非标准的开普勒式椭圆。行星将存在两个方向的进动——近日点方向的进动（行星轨道在轨道平面的转动）以及节点的进动（行星轨道平面在三维空间中的转动），进动周期从45000年到几百万年不等[1]。

除此之外，还有其他许多数学家也曾投身于太阳系稳定性问题的研究，包括赫赫有名的高斯（Gauss）、泊松（Poisson），和近代的法国数学家莫泽（Moser），以及俄国数学家阿诺德（Arnold）和柯尔莫戈洛夫（Kolmogorov）。在研究过程中，他们发表了多个关于太阳系稳定性的证明。然而，这些证明都是基于各种近似假设，与太阳系的实际情况并不完全相符，因此太阳系的稳定性依然存疑。但这些研究却并非毫无意义，众多新型的数学计算工具，例如扰动理论、卡姆（KAM）定理等应运而生，这也为现代学科分类下的非线性动力学和混沌理论提供了灵感[4]。

庞加莱的混沌：可预知性的终结

牛顿对太阳系稳定性的质疑，无疑埋下一颗怀疑的种子，虽然大数学家拉普拉斯等也曾深入探讨过这个问题，在他们的结论中，太阳系是完全稳定的，但大家仍然心存疑虑。于是在1887年，开明又喜爱数学的瑞典国王奥斯卡二世采用2500瑞典克朗的现金奖励方式来悬赏这一问题的答案，最终摘得桂冠的法国科学院院士庞加莱（图3）却证明了这个问题并不可解。