1.Collatz猜想

随意选一个整数，如果它是偶数，那么将它除以2；如果它是奇数，那么将它乘以3再加1。对于得到的新的数，重复操作上面的运算过程。如果你一直操作下去，你每次都终将得到1。

数学家们试验了数百万个数，至今还没发现哪怕一个不收敛到1的例子。然而问题在于，数学家们也没办法证明一定不存在一个特殊的数，在这一操作下最终不在1上收敛。有可能存在一个特别巨大的数，在这一套操作下趋向于无穷，或者趋向于一个除了1以外的循环的数。但没有人能证明这些特例的存在。

2.移动沙发问题

你要搬新家了，想把你的沙发搬过去。问题是，走廊有个转角，你不得不在角落位置上给沙发转方向。如果这个沙发很小，那没什么问题。如果是个挺大的沙发，估计得卡在角落上。如果你是个数学家，你会问自己：能够在角落上转过来的最大的沙发有多大呢？这个沙发不一定得是矩形，可以说任何形状。

这便是“移动沙发问题”的核心，具体来说就是：二维空间，走廊宽为1，转角90°，求能转过转角的最大二维面积是多少？

能转过转角的最大二维面积被称为“沙发常数”（the sofa constant）——这是真的，我不是骗你读书少。没人知道它到底有多大，但我们知道有一些相当大的沙发可以转得过去，所以我们知道沙发常数一定比它们大；也有一些沙发无论如何都转不过去，因此沙发常数一定比这些转不过去的面积小。迄今位置，我们知道沙发常数落在2.2195到2.8284之间。

3.完美立方体问题

还记得勾股定理，A^2 + B^2 = C^2吗？A、B、C三个字母表示直角三角形的三边长。毕达哥拉斯三角形指的是三边长都是整数的直角三角形，即满足A^2 + B^2 = C^2且A、B、C都是整数。现在我们将这个概念扩展到三维，在三维空间，我们需要四个数A、B、C和G。前三个数是立方体的三维边长，G是立方体的空间对角线长度。

正如有些三角形的三边都是整数一样，存在一些立方体的三边和体对角线（A、B、C和G）都是整数，但对于立方体来说还有三个面对角线（D、E和F），这就带来一个有趣的问题：有没有立方体满足这个7个边长都是整数的条件呢？

问题的目标在于找到一个立方体满足A^2 + B^2 + C^2 = G^2，且全部的边和对角线长度都是整数，这种立方体被称为完美立方体（perfect cuboid）。数学家们测试了各种不同的可能构型，还没找到任何一个满足条件的情况。但他们也不能证明这样的立方体不存在，因此搜寻完美立方体的工作还在继续。

4.内接正方形问题

随手画一个闭合曲线，这个曲线不一定要是圆，可以是任何你想要的形状，但曲线的起终点必须重合且曲线不能穿越自身，在这个曲线上可能找到四个点连成一个正方形。内接正方形假设的内容就是，每条闭合曲线（确切来说是每个平面内的简单闭合曲线）一定有一个内接正方形，这个正方形上四点都在这个闭合曲线上的某处。

许多闭合曲线上内接其他形状的问题都已经得到了解决，例如矩形或者三角形等，但正方形却有点复杂，至今数学家们还没有搞明白这个问题的正式证明。

5.美好结局问题

这个问题之所以被命名为“美好结局问题”，是因为它促成了一对数学家的美好姻缘：数学家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解决这一问题，他们最终结婚了（而这个问题仍未解决）。概括来说，这个问题是这样的：

在一张纸面上随机放置5个点，假设这5个点排布不特殊（比如排在一条直线上），你总能找到其中四个点构成凸四边形，也即四个边夹角小于180°的四边形。这个定理的要点在于，不管这5个点的位置排布如何，你总能在5个点中构造一个凸四边形。

这是四边形的情况，而数学家发现，为了确保构造出一个凸五边形，似乎需要9个点；对于六边形则需要17个点，但此外更多边形的情况我们不清楚。构造七边形和更多变形需要多少点，依然是个谜。更重要的是，理应有一个公式告诉我们对于某一边数，需要多少个点。科学家们认为这个公式可能是M=1+2N-2，其中M是点数而N是边数。但至今为止数学家们能够证明的也就是上述这些有限范围内的结论了。